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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje $x$ sólo una vez.
d) $f(x)=x^{2n+1}+x^{3}+x+1, x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$
d) $f(x)=x^{2n+1}+x^{3}+x+1, x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$
Respuesta
Lo primero que quiero que veas es que, ese $2n+1$ que está ahí en el exponente, siempre nos arroja un número impar para cualquier $n$ natural. Eso lo vamos a usar ahora cuando tomemos el límite a $- \infty$. Mirá:
$\lim_{x \to +\infty} x^{2n+1} + x^3 + x + 1 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^{2n+1} + x^3 + x + 1 = - \infty$(Fijate que $2n+1$ es la potencia que manda para todo $n$ natural, y al ser impar, eso asegura que cuando $x$ tienda a $-\infty$ la función se vaya a $-\infty$)
Ahora calculemos la derivada de $f$:
$f'(x) = (2n+1)x^{2n} + 3x^2 + 1$
Fijate que ahora nos aparece $2n$ en el exponente. Ese exponente es un número par siempre, para cualquier $n$ natural. Ver esto te va a ayudar a darte cuenta que $f'(x)$ es siempre positiva, y por lo tanto, eso nos dice que $f(x)$ es siempre creciente.
De nuevo, tenemos una función continua, monótona creciente, que es negativa en $-\infty$ y positiva en $+\infty$. Por lo tanto, no le queda otra que haber cortado al eje $x$ una vez.